●本時の目的
連立方程式とはどういうものなのかを知って貰い、二通りの計算方法で解ける事を理解して貰う。
● 本時の指導過程
まず教室に入り、起立・礼・着席をする。
「では、今日から新しい単元に入りたいと思います。でもその前に少し、前回の授業の復習をしておこうか。」
そう言って、前回までの授業内容である式の計算について触れておく。
これは触り程度なので文字式の計算の仕方について軽く話をし、今日からの本題をより判りやすくする為の時間とする。
「前回までの範囲は大体判っているようだね。それでは今日は連立方程式について学びます。ところでみんな、もうすぐ運動会の季節だよね。その運動 会で５人組のむかで競争と、二人三脚の競技があるんだけど、クラス全員が必ずどちらか一種目に出場しなくてはいけないの。」
〈むかで競争がいい！・二人三脚に出たい〉
杉浦コメント：ここは生徒を参加させやすいように働きかけたらいい。例えば「むかで競争に出たい人は手をあげて，それじゃ，二人三脚に出たい人は手をあげて」とか・・・
「うん。みんなの意見を聞いて、どっちの種目にするか決めて貰いたいの。 うちのクラスは全員で３６人だよね。じゃあこの３６人を２つの種目にどう振り分けたらいいと思う？」
〈分からない・やりたい方を選べばいいと思う〉
「でもね、どちらかの競技をしたい人が沢山いるともう一つの競技をする人が少なくなってしまうよね。むかで競争は１チーム５人だから、そっち ばかりに人がいってしまうと、チームの数が少なくなっちゃうんだ。２つの種目の合計チーム数が１２チームになる様に振り分けたいんだけど…」
教室が静かになる。どう考えてよいのか分からない様子である。
「じゃあ、むかで競争をｘチーム、二人三脚をｙチームとするよ。むかで競争に出場する人数をｘを使って表すと、全部で何人になるかな？」
〈５ｘ…かなぁ？？〉
「そう。１チーム５人で、それがｘチームある事になるから全部で５ｘ人が出場する事になるよね。じゃあ、二人三脚も同じ様に考えたらどうなる？」
〈２ｙ！〉
「正解。１チーム２人でｙチームあるから２ｙという人数が出場します。
そしてクラスの人数が３６人だから、５ｘ＋２ｙ＝３６ という等式が成り立つことが分かります。この等式でｘの値が１、２、３…のとき、この様な表でその値の変化を示すことが出来ます。」
「この表を見て、少しおかしい所があることに気付くかな？」
〈分数になってる所がある・マイナスの値が出ている〉
「そうです。ｙというチーム数を表しているのに、チームの数が分数になったり、マイナスになったりするのは変ですよね。それではここで、さっきに先生の話を思い出して下さい。２つの種目の合計チーム数が、１２ チームにしなくてはいけないという、もう一つの条件がありました。では、その条件をｘとｙを使って等式で表すとどうなりますか？」
〈ｘ＋ｙ＝１２〉
「そうそう。むかで競争がｘチーム、二人三脚がｙチーム。その合計数が１２チームにならなくてはいけないので、ｘ＋ｙ＝１２ という等式が成り立ちます。では先程と同様にこの等式でｘの値が１、２、３…のとき、その値の変化はこの表で示すことが出来るよね。」
「これまでの話から ５ｘ＋２ｙ＝３６，ｘ＋ｙ＝１２という、２つの二元一次方程式の組が出来ます。この方程式の組を連立方程式といいます。そして、連立方程式のどちらにも当てはまる文字(この場合ｘとｙ)の値の組を連立方程式の解といい、その解を求めることを連立方程式を解くといいます。
じゃあ、黒板に示した２つの表から、この問題の連立方程式の解はいくつになるかな？」
〈４と８！〉
「正解。もっと正しく言うならｘが４でｙが８。この２つの表を見比べて、２つの等式もどちらにも当てはまる値は他にないよね。よってむかで競争が ４チーム、二人三脚が８チーム作れることになります。こんな風に連立方程式を使うと簡単に計算出来るんだよ。」
でもめんどくさいよね。毎回こんな表を書かなきゃいけないなんて・・・。だから勿論、連立方程式を計算で解く方法があります。それについて考えてみましょう。」
ここではじめて、板書をノートに写して貰う。それまでは基本的に話を聞いて考えることに専念させ、ノートを取る必要はない。
「１つの文字を含む方程式の解き方は前回までの授業で習ったから知ってるよね。よって、与えられた連立方程式から、文字１つの方程式を導くことが出来ればその連立方程式を解くことが出来ます。ここで、ｙ＝８－ｘ→①，３ｘ＋２ｙ＝１９→② という連立方程式を例にとって考えてみましょう。①、②の両方に当てはまるｘ、ｙの値については、①のｙと②のｙでは同じ値なのだから、②のｙを①の８－ｘで置きかえる事が出来るよね。実際に置き変えてみるとどうなる？」
〈３ｘ＋２(８－ｘ)＝１９になる〉
「そうそう。②のｙの所を８－ｘにする、それだけの作業でいいの。そうすれば、３ｘ＋２(８－ｘ)＝１９ この等式はもうみんな解けるよね。やってみて。」
少し時間を置いて、生徒に当てる。
〈ｘ＝３！〉
「正解。じゃあこの値を①のｘに代入するとｙは…」
〈出た！５だ。〉
「大正解。よってこの連立方程式の解はｘが３でｙは５です。このように連立方程式からｙを含まない方程式を導くことを、ｙを消去するといいます。
そしてこれは、②のｙに８－ｘを代入したことになっていて、こうした代入によって文字を消去する方法を代入法といいます。どう？分かった？」
生徒が理解したか、顔色を伺う。
「代入法については大体分かったかな。実は、１つの文字を消去するのに、代入方とは別にもう１つ方法があるの。それについてを考えてみようか。」
「今度は４ｘ＋ｙ＝２０→①，２ｘ＋ｙ＝１６→② という連立方程式で考えます。ここで、①の左辺から②の左辺を引き、また①の右辺から②の右辺を引くと、どうなる？」
〈左辺は…４ｘ＋ｙから２ｘ＋ｙを引くから、２ｘが残る。右辺は20－16で４になる。〉
「そう。そして等しいものから等しいものを引いた残りは等しいから２ｘ＝４ となり、ｘ＝２という値が得られ、ｙを消去することが出来るね。じゃあ、ｘが２と分かればｙは…」
〈１２！〉
「正解。よってこの連立方程式の解はｘが２でｙが１２だと分かったよね。こうして左辺と左辺、右辺と右辺をそれぞれ、足すか引くかして１つの文字を消去する方法を加減法といいます。どう、みんな分かったかな？」
分かった、分かりにくいなど生徒は微妙な反応を示す。
「じゃあ、本当に理解出来たかどうか、さっきの運動会の問題を使って一度、自分だけで解いてみよう。連立方程式 を加減法を使って解いてみて。」
５分程、時間を与える。その間、教室を回って生徒の出来具合を確認。
この問題は、先程の例題より少し難しめなので、多くの生徒が苦戦している様子。ここで教卓に戻り、ヒントを与えながら生徒と共に答えを導いてゆく。
「 ５ｘ＋２ｙ＝３６，ｘ＋ｙ＝１２の①と②を、そのまま足したり引いたりしても、どちらの文字も消去出来ない。そこで、②の両辺を２倍し、ｙの係数を揃えるように②の等式を変形させてみよう。どうなるかな？」
〈２ｘ＋２ｙ＝２４〉
「そう。２ｘ＋２ｙ＝２４…②'とするよ。そしたら ５ｘ＋２ｙ＝３６，２ｘ＋２ｙ＝２４となって①から②'引くと、ｙを消去することが出来るよ。やってみて。」
〈３ｘ＝１２だから…ｘは４！〉
「そうそう。それを①に代入すると、もう分かるよね？」
〈ｙは８になる！〉
「正解！ほら、さっきと同じｘが４、ｙが８という連立方程式の解が出たよ。こんな風にして、計算で簡単に連立方程式を解くことが出来るんだ。」
「ｘとかｙとか、文字が含まれた等式の計算とか、一見何の役に立つの？って思っちゃいそうだけど、こうやって身近な例で取り上げると凄く分かり 易いし便利でしょ。買い物の時や人数を調べる時など、連立方程式を使えば簡単に正確な値が求められ、私達の日々の生活にとても役に立っているんだよ。この事を覚えていて欲しいな。」
「じゃあ次回の授業では、その連立方程式を利用して、自分で等式を立てて解いていく、ちょっと応用の段階に入るよ。分からない所がある人は、いつでも質問に来てね。」
起立・礼をして退室。
杉浦コメント：オーソドックスな授業ではあるけれど，基本がしっかりしている指導案です。導入で，雑談から自然に授業に入るところや，最後のメッセージがしっかりあること，全体を通して次に何をすべきかが明確であることなど，真似をしてほしいところが多くあります。